五角形の面積の求め方を完全網羅！小学生の裏ワザから高校公式まで

五角形の面積の求め方を完全網羅！小学生の裏ワザから高校公式までの特集記事をご紹介します。最新トレンドが詰まっています。

中学数学から高校数学のステージに入ると、補助線で直角三角形を作り、三平方の定理や三角比（$\sin, \cos, \tan$）を駆使する手法が登場します。

正五角形の一辺の長さを $a$ としたときの面積公式は、中心から各頂点に線を引いて「5つの合同な二等辺三角形」に分解することで導かれます。各二等辺三角形の頂角は $360^\circ \div 5 = 72^\circ$、底角は $54^\circ$ となります。

高校数学で扱われる、正五角形の面積をルートで表す厳密な公式は以下の通りです。

$S = \frac{5}{4} a^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{a^2}{4} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \approx 1.72048 \times a^2$

また、幾何学的な特徴として「正五角形の対角線の長さ」も極めて重要です。一辺の長さ $a$ に対する対角線の長さ $d$ の比率は、黄金比 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ と一致します。つまり、$d = \frac{1+\sqrt{5}}{2} a$ となり、この性質を利用して相似な三角形を見つけ出す手法は難関校入試でも頻出の論点です。