二重根号の外し方を完全攻略！「前に2がない」変形からマイナスの罠まで

二重根号の外し方を完全攻略！「前に2がない」変形からマイナスの罠までにまつわる最新トピックを詳しく紐解きます。

二重根号を外すための基本公式は、一見すると複雑な暗記項目に見えますが、本質は中学で習う「式の展開」を逆再生しただけのシンプルな構造です。

まずは基本となる公式を確認しましょう。

【二重根号の基本公式】
$a > 0$、$b > 0$ のとき、
・$\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
・$a > b > 0$ のとき、$\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

この二重根号 公式の証明は非常に明快です。右辺の $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ を2乗してみると、次のように展開されます。

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$

両辺の正の平方根を取ると、左辺は $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ となり、右辺は $\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}}$ となります。つまり、二重根号を外す作業とは、「ルートの中身を $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2$ の完全平方式に因数分解している」ことと同義なのです。

解く際の実践的な思考ステップは次の通りです。
1. 内側のルートの前が「2」になっているか確認する。
2. 「足して前の数（和）」になり、「掛けて内側のルートの中身（積）」になる2つの数字 $a, b$ を見つける。
3. $\sqrt{a} + \sqrt{b}$（マイナスの場合は $\sqrt{a} - \sqrt{b}$）の形に書き直す。