円のベクトル方程式でなぜつまずく？２大公式の導出と内積の正体を解剖

円のベクトル方程式でなぜつまずく？２大公式の導出と内積の正体を解剖の基礎知識と応用に迫る! 専門的な視点で紐解きます。

理論の理解を確固たる得点力へと昇華させるため、国公立大・難関私大入試の基礎〜標準レベルに相当する2つの典型練習問題に挑戦しよう。

【問題1】中心が点Aで原点を通る円のベクトル方程式

問題：定点 $A(\vec{a})$ を中心とし、原点 $O(\vec{0})$ を通る円のベクトル方程式を求めよ。（ただし $\vec{a} \ne \vec{0}$ とする）

思考プロセスと解答：
円のベクトル方程式の基本形は $|\vec{p} - \text{中心}| = \text{半径}$ である。本問において中心は $A(\vec{a})$ であるため、あとは半径 $r$ を求めればよい。円は原点を通るため、半径 $r$ は線分OAの長さに等しい。すなわち、$r = |\vec{a} - \vec{0}| = |\vec{a}|$ である。
したがって、円周上の動点を $P(\vec{p})$ とすると、求めるベクトル方程式は直ちに導かれる。

$|\vec{p} - \vec{a}| = |\vec{a}|$

両辺を2乗して展開した形も確認しておこう。$|\vec{p} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2$ より、
$|\vec{p}|^2 - 2\vec{p} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2$
整理すると、以下の美しい内積方程式が得られる。

$|\vec{p}|^2 - 2\vec{p} \cdot \vec{a} = 0 \iff \vec{p} \cdot (\vec{p} - 2\vec{a}) = 0$

この変形は、原点 $O(\vec{0})$ と点 $B(2\vec{a})$ を直径の両端とする円であることをも示唆しており、数学的な整合性が見事に保たれている。

【問題2】内積条件が定める動点Pの軌跡の決定

問題：平面上の動点 $P(\vec{p})$ が等式 $2|\vec{p}|^2 - 6\vec{a} \cdot \vec{p} + 4|\vec{a}|^2 = 0$ を満たすとき、点Pはどのような図形上を動くか。ただし $|\vec{a}| \ne 0$ とする。

思考プロセスと解答：
まず、式の全体を $|\vec{p}|^2$ の係数である 2 で割り、先頭をシンプルにする。
$|\vec{p}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{p} + 2|\vec{a}|^2 = 0$
ここで前述した「平方完成」の手法を適用する。$-3\vec{a} \cdot \vec{p}$ を生み出すためには、$\left|\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{a}\right|^2$ の展開を考えればよい。

$\left|\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{a}\right|^2 = |\vec{p}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{p} + \frac{9}{4}|\vec{a}|^2$

与式にこの関係を代入して整理する。
$\left(\left|\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{a}\right|^2 - \frac{9}{4}|\vec{a}|^2\right) + 2|\vec{a}|^2 = 0$
$\left|\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{a}\right|^2 - \frac{1}{4}|\vec{a}|^2 = 0$
$\left|\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{a}\right|^2 = \left(\frac{1}{2}|\vec{a}|\right)^2$
大きさは常に正であるから、両辺の平方根をとると、

$\left|\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{a}\right| = \frac{1}{2}|\vec{a}|$

結論：点Pは、位置ベクトル $\frac{3}{2}\vec{a}$ で表される点を中心とし、半径が $\frac{1}{2}|\vec{a}|$ である円周上を動く。