正四角錐の体積の求め方を徹底解説！公式と三平方の定理

正四角錐の体積の求め方を徹底解説！公式と三平方の定理の注目ポイントを丁寧に掘り下げてご紹介します。

高校入試 数学 図形問題で最も出題率が高いのは、問題文に高さが明記されておらず、「底面の1辺の長さ」と「側面の斜辺（側稜）の長さ」だけが与えられているパターンです。ここで必須となるのが、三平方の定理 空間図形への応用です。

正確な正四角錐 高さの求め方は、以下の2ステップで進めます。

ステップ1：底面の正方形の対角線の長さを求める
底面の正方形の1辺を $a$ としたとき、対角線の長さは特別な直角三角形の辺の比（$1 : 1 : \sqrt{2}$）より、必ず $\sqrt{2}a$ になります。頂点から下ろした垂線は対角線の中点で交わるため、中心から底面の頂点までの距離はその半分の $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ となります。

ステップ2：立体内部の直角三角形で三平方の定理を使う
「側面の斜辺の長さ（母線 $l$）」「底面の中心から頂点までの長さ（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$）」「立体の高さ（$h$）」で構成される直角三角形に注目します。三平方の定理（$A^2 + B^2 = C^2$）に当てはめると、次の方程式が成り立ちます。

$h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 = l^2$

この式を変形して $h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{2}}$ を算出すれば、高さが判明し、そのまま体積公式へ代入できるようになります。