3人の囚人問題はなぜ1/2じゃない？直感の罠と数学の真相を徹底解説

3人の囚人問題はなぜ1/2じゃない？直感の罠と数学の真相を徹底解説について徹底解説いたします。最新の情報をご覧ください。

この直感に反する事象を、現代のデータ分析や統計モデリングの基礎であるベイズの定理（条件付き確率）を用いて厳密に計算してみましょう。

囚人A、B、Cが恩赦される事象をそれぞれ $A, B, C$、看守が「Bは処刑される」と発言する事象を $W_B$ と定義します。

事前確率はそれぞれ平等です。
$P(A) = 1/3$
$P(B) = 1/3$
$P(C) = 1/3$

各条件下で看守が「B」と発言する条件付き確率（尤度）は以下の通りです。
$P(W_B \mid A) = 1/2$（Aが助かるなら、看守はBかCを等確率で選ぶ）
$P(W_B \mid B) = 0$（Bが助かるなら、看守はBと言えない）
$P(W_B \mid C) = 1$（Cが助かるなら、看守は消去法でBと言うしかない）

看守が「B」と発言する全体の確率 $P(W_B)$ は、全確率の公式より次のようになります。
$P(W_B) = P(A)P(W_B \mid A) + P(B)P(W_B \mid B) + P(C)P(W_B \mid C)$
$P(W_B) = (1/3 \times 1/2) + (1/3 \times 0) + (1/3 \times 1) = 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2$

ここで、看守の発言後に囚人Aが助かっている事後確率 $P(A \mid W_B)$ を計算します。
$P(A \mid W_B) = \frac{P(A)P(W_B \mid A)}{P(W_B)} = \frac{1/6}{1/2} = \mathbf{1/3}$

同様に、囚人Cが助かっている事後確率 $P(C \mid W_B)$ を計算します。
$P(C \mid W_B) = \frac{P(C)P(W_B \mid C)}{P(W_B)} = \frac{1/3}{1/2} = \mathbf{2/3}$

数式を通すことで、なぜAの確率が1/3のまま据え置かれ、Cの確率だけが2/3へと跳ね上がるのかが寸分の狂いもなく証明されます。