余因子行列で逆行列を完璧攻略！転置忘れ・符号ミスを防ぐ計算の極意

余因子行列で逆行列を完璧攻略！転置忘れ・符号ミスを防ぐ計算の極意の注目されている理由を丁寧にまとめました。全体像を一目で把握できます。

逆行列の公式は以下のように表されます。行列式 $|A| \neq 0$（正則行列）のとき、逆行列 $A^{-1}$ は次式で求まります。

$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \widetilde{A} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A)$$

多くの学習者が疑問に感じるのが、「なぜ余因子を行列式で割るだけで逆行列になるのか」「なぜ転置しなければならないのか」という点です。この疑問の答えは、行列式の余因子展開が持つ性質にあります。

行列 $A$ のある行に沿って余因子展開を行うと、その行の各成分と対応する余因子の積の総和は行列式 $|A|$ に等しくなります。

$$a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} = |A|$$

一方で、異なる行の成分と余因子を掛け合わせて足し算すると、値は常にゼロになります。例えば、$i$ 行目の成分に対して $k$ 行目（$i \neq k$）の余因子を掛けると次のようになります。

$$a_{i1}C_{k1} + a_{i2}C_{k2} + \cdots + a_{in}C_{kn} = 0 \quad (i \neq k)$$

これは、第 $k$ 行の代わりに第 $i$ 行の数値を代入した行列（同じ行を2つ持つ行列）の行列式を計算していることと同義であり、同じ行を持つ行列の行列式は必ず0になるという基本定理から導かれます。

元の行列 $A$ に、転置した余因子行列 $\widetilde{A}$ を右から掛けると、対角成分には $|A|$ が並び、それ以外の非対角成分にはすべて 0 が並ぶことになります。

$$A \widetilde{A} = \begin{pmatrix} |A| & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & |A| & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & |A| \end{pmatrix} = |A| I$$

両辺を行列式 $|A|$ で割ることで $A \left( \frac{1}{|A|} \widetilde{A} \right) = I$ となり、逆行列の定義を満たすことが数学的に証明されます。積の計算で行列の「行」と余因子行列の「列」が正しくマッチングするために、転置が不可欠なのです。