円の方程式を完全攻略！標準形・一般形から接線の公式まで総整理

円の方程式を完全攻略！標準形・一般形から接線の公式まで総整理に関する最新の話題を丁寧に解説いたします。

円の方程式を攻略する第一歩は、標準形と一般形という2つの表現形式を完璧に把握することです。問題文に与えられた条件に応じて最適な形を選ぶだけで、計算量は劇的に変わります。

中心が点$(a, b)$、半径が$r$（ただし$r > 0$）である円の方程式は、三平方の定理（2点間の距離の公式）から直接導かれ、以下の標準形で表されます。

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

特に中心が原点$(0, 0)$のときは、$x^2 + y^2 = r^2$となります。中心の座標や半径の値が問題文に明記されている場合、あるいはそれらを直接求めたい場合は、迷わずこの標準形を選択してください。

一方、標準形を展開して整理した式が、以下の一般形です。

$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$

一般形の特徴は、$x$と$y$の2次の係数がともに$1$であり、$xy$という積の項が存在しない点にあります。一般形から中心と半径を読み取るには、平方完成を行って標準形の形へと式変形します。

$\left(x + \frac{l}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{m}{2}\right)^2 = \frac{l^2 + m^2 - 4n}{4}$

このとき、右辺の値（$l^2 + m^2 - 4n$）が正でなければ実体のある円として存在できません。右辺が$0$の場合は「点」を表し、負の場合は「表す図形なし（虚円）」となる点にも注意を払いましょう。