点と平面の距離公式を完全攻略！証明のカラクリと空間ベクトルの時短術

点と平面の距離公式を完全攻略！証明のカラクリと空間ベクトルの時短術にまつわる役立つ知識を詳しく紐解きます。

「なぜ分子に平面の方程式がそのまま入り、分母が係数の2乗和の平方根になるのか」という疑問は、ベクトルの内積を考えることで完全に氷解します。

平面 $\alpha: ax + by + cz + d = 0$ において、係数から作られるベクトル $\vec{n} = (a, b, c)$ は、平面 $\alpha$ に対して垂直な法線ベクトルを表します。いま、平面 $\alpha$ 上に任意の点 $A(x_1, y_1, z_1)$ をとると、点 $A$ は平面上にあるため次の等式を満たします。

$$ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0 \iff ax_1 + by_1 + cz_1 = -d$$

求めたい点 $P(x_0, y_0, z_0)$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の長さ $d$ は、ベクトル $\vec{AP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1)$ を法線ベクトル $\vec{n}$ の方向へ射影した長さ（正射影ベクトルの大きさ）に等しくなります。したがって、内積の定義より次のように立式できます。

$$d = \frac{|\vec{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

ここで、分子の内積部分を成分計算してみます。

$$\vec{AP} \cdot \vec{n} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1) + c(z_0 - z_1) = (ax_0 + by_0 + cz_0) - (ax_1 + by_1 + cz_1)$$

先ほど確認した $ax_1 + by_1 + cz_1 = -d$ をここに代入すると、引き算の部分が $+d$ へと化けます。

$$\vec{AP} \cdot \vec{n} = ax_0 + by_0 + cz_0 + d$$

法線ベクトルの大きさは $|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ ですから、これらをまとめると見事に公式が導出されます。丸暗記ではなく「法線ベクトルへの正射影」という図形的な実態を知ることで、公式の信頼度と定着率は飛躍的に高まります。