数学Iiで圧倒的な差をつける相加相乗平均の証明と等号成立の罠

話題沸騰中の 数学Iiで圧倒的な差をつける相加相乗平均の証明と等号成立の罠について、主要な情報を整理して公開しています。

入試本番で相加相乗平均を武器にするための思考プロセスは、以下の3ステップに集約される。

第一に、「正の条件」の確認だ。問題文に $x > 0$ という明示があるか、あるいは $x^2 + 1$ のように自明に正となる構造が潜んでいるかを見定める。負の値を取り得る状況でこの不等式を使うことは致命的な論理破綻となる。

第二に、「積が定数になるペア」の人工的な構築だ。$x + \frac{4}{x+1}$ のような式であれば、無理やり $(x+1) + \frac{4}{x+1} - 1$ と変形して積を一定にする。この式の調整力こそが代数のセンスである。

第三に、前述した「等号成立条件の検証」だ。等号を結ぶ両辺の値が一致する実数が存在するかを愚直に解く。この3つの関門をクリアして初めて、得点源としての不等式が完成する。