円の接線の方程式を完全攻略！公式の証明から円外の点を通る難問まで徹底解説

円の接線の方程式を完全攻略！公式の証明から円外の点を通る難問まで徹底解説にまつわる興味深い視点を分かりやすく発信ます。

教科書の基本問題と入試問題の最大の違いは、与えられる点が「円周上の点」か「円外の点を通る接線」かという点にあります。円外の点から円に引く接線は必ず2本存在しますが、解き方を誤ると1本しか求まらなかったり、計算が泥沼化したりします。

アプローチ1：接点 $(x_1, y_1)$ を文字でおく正攻法

設問で接点の座標を求めさせられる場合や、記述式答案で最も堅牢なのが「接点設定法」です。

1. 接点の座標を $P(x_1, y_1)$ と仮定する。
2. 接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = r^2$ と表せる。
3. この直線が円外の通過点 $(x_0, y_0)$ を通るため代入：$x_1 x_0 + y_1 y_0 = r^2$ … ①
4. 接点 $P$ は円上の点であるため円の式に代入：$x_1^2 + y_1^2 = r^2$ … ②
5. ①と②の連立方程式を解いて $(x_1, y_1)$ の組み合わせを2組算出し、接線の式に代入する。

この解法の最大の利点は、「接点 座標 求め方」を別途計算する必要がなく、接線と接点が同時に求まる点にあります。

アプローチ2：傾き $m$ と「$d=r$」を組み合わせる高速解法

接点座標が不要で接線の方程式だけを素早く求めたい場合は、「傾きmの接線の方程式」を設定するアプローチが最速です。

円外の点 $(x_0, y_0)$ を通る直線は、傾きを $m$ と置くと $y - y_0 = m(x - x_0)$、すなわち $mx - y + (y_0 - mx_0) = 0$ と立式できます。この直線と円の中心との距離が半径 $r$ と等しくなる条件を立式すれば、$m$ に関する2次方程式として解くことができます。

ただし、ここで受験生が最も犯しやすい致命的なトラップが存在します。それが「$y$ 軸に平行な接線の見落とし」です。傾き $m$ と設定した時点で「傾きが存在しない直線 $x = k$」が除外されてしまうため、解が1つしか出てこない場合は必ず図形的に $x = x_0$ が接線になっているか確認しなければなりません。