三角関数の合成公式は丸暗記不要！加法定理と図解で即マスターする極意

三角関数の合成公式は丸暗記不要！加法定理と図解で即マスターする極意の要点を分かりやすくまとめてご紹介します。

数式の証明が理解できたら、次はその数式を座標平面上に落とし込みましょう。三角関数の合成 やり方 図解を用いれば、試験本番で公式を思い出す必要すらなくなります。

導出の過程で得られた $\cos\alpha = \frac{a}{r}$、$\sin\alpha = \frac{b}{r}$ という比率は、まさに「原点 $O(0, 0)$ と点 $P(a, b)$ を結ぶ線分」がなす直角三角形そのものです。三角関数の合成 角度アルファの求め方は、以下の3ステップで完了します。

1. 座標平面に点 $P(a, b)$ をプロットする：
   必ず「$\sin\theta$ の係数を $x$ 座標」「$\cos\theta$ の係数を $y$ 座標」にとります。
2. 原点と点 $P$ を結び、線分の長さ $r$ を三平方の定理で求める：
   $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$
3. $x$ 軸の正の部分と線分 $OP$ がなす角 $\alpha$ を読み取る：
   直角三角形の辺の比（$1:1:\sqrt{2}$ や $1:2:\sqrt{3}$ など）から、動径の角度 $\alpha$ を瞬時に決定します。

たとえば、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を合成する場合を考えましょう。$\sin$ の係数が $1$、$\cos$ の係数が $\sqrt{3}$ なので、点 $P(1, \sqrt{3})$ を取ります。原点からの距離は $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$。直角三角形の辺の比は $1 : \sqrt{3} : 2$ となり、なす角は一目で $\frac{\pi}{3}$（$60^\circ$）と判明します。したがって、式は一瞬で $2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ へと書き換わります。