増減表の書き方を完全攻略！符号判定と矢印の罠を防ぐ解法の極意

増減表の書き方を完全攻略！符号判定と矢印の罠を防ぐ解法の極意に関する主要なデータを分かりやすく解説いたします。

教科書の基本例題を脱出し、入試実戦レベルに進むと、単なるプラス・マイナスの交互反転では対応できない「落とし穴」が出現します。その筆頭が4次関数の増減表における重解の扱いです。

重解を持つ導関数と「符号が変わらない」現象

例えば、$f'(x) = 4(x-1)^2(x+2)$ のように導関数が2乗の因数（重解）を持つケースを考えます。通常の3次関数では境界を越えるごとに符号が交互に反転（$+\rightarrow -\rightarrow +$）しますが、重解を持つ箇所（この場合は $x = 1$）では、グラフが $x$ 軸に接するため符号が変化しません。つまり、$x < 1$ で正、$x > 1$ でも正のまま推移します。

この場合、増減表の矢印は「$\nearrow$ の後に再び $\nearrow$」となり、接線の傾きが瞬間的に $0$ になるものの、極値にはなりません。「$f'(x) = 0$ となる点＝極値」と機械的に丸暗記している学習者は、ここで確実に罠に落ちます。必ず導関数のグラフの概形を描き、軸との接触状態を目視確認する習慣が不可欠です。

数学IIIで必須となる「2階微分」と「変曲点・凹凸」の完全整理

理系大学を受験する上で避けて通れないのが、数学III変曲点と凹凸を組み込んだ増減表です。ここでは導関数 $f'(x)$ に加え、二次導関数と変曲点を調べるために $f''(x)$（2回微分）を導入し、表は4段構成へと拡張されます。

受験生が最も混乱するのが、増減表斜め矢印の書き方です。数学IIまでは単純な直線的斜め矢印「$\nearrow$」「$\searrow$」で済みましたが、数学IIIではグラフの「曲がり具合（凸凹）」を正確に表現するため、カーブを描く特殊な矢印を用いるのが標準的です。

• $f'(x) > 0$ かつ $f''(x) > 0$：下に凸で増加（右肩上がりの下に膨らむ曲線 $\boldsymbol{\smile \hspace{-0.7em} \nearrow}$）
• $f'(x) > 0$ かつ $f''(x) < 0$：上に凸で増加（右肩上がりの上に膨らむ曲線 $\boldsymbol{\frown \hspace{-0.7em} \nearrow}$）
• $f'(x) < 0$ かつ $f''(x) > 0$：下に凸で減少（右肩下がりの下に膨らむ曲線 $\boldsymbol{\searrow \hspace{-0.7em} \smile}$）
• $f'(x) < 0$ かつ $f''(x) < 0$：上に凸で減少（右肩下がりの上に膨らむ曲線 $\boldsymbol{\searrow \hspace{-0.7em} \frown}$）

$f''(x)$ の符号が入れ替わる境界こそが「変曲点（曲線の曲がる向きが変わる点）」です。2階微分の役割を「接線の傾きの変化率」として正しく捉えることで、複雑な関数の挙動もクリアに整理できます。