外接円の半径の求め方を完全網羅！正弦定理と面積公式の瞬解テクニック

外接円の半径の求め方を完全網羅！正弦定理と面積公式の瞬解テクニックを徹底追究! 知っておきたい トピックの裏側を分かりやすく展開します。

高校数学の「図形と計量」において、知っておくと圧倒的なアドバンテージを得られるのが、三角形の面積 $S$ と外接円の半径 $R$ を結ぶ「$R = \frac{abc}{4S}$」という関係式です。

この公式の成立過程は極めてエレガントです。三角形の面積公式の一つである以下の式から出発します。

$$S = \frac{1}{2}ab \sin C$$

ここで、正弦定理より $\frac{c}{\sin C} = 2R$ ですから、これを変形すると $\sin C = \frac{c}{2R}$ となります。この $\sin C$ を面積の式にそのまま代入してみましょう。

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot \left(\frac{c}{2R}\right) = \frac{abc}{4R}$$

この式の両辺を $R$ について解き直すことで、目的の公式が姿を現します。

$$R = \frac{abc}{4S}$$

この公式の真価は、「角度の計算を1回も挟むことなく、3辺の長さと面積だけで外接円の半径が瞬時に確定する」点にあります。例えば、3辺の長さが $a=5, b=6, c=7$ のような整数の場合、ヘロンの公式を用いて半周長 $s = \frac{5+6+7}{2} = 9$ を計算し、面積 $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = 6\sqrt{6}$ を求めれば、直ちに代入できます。

$$R = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$$

通常であれば「余弦定理で $\cos$ を出す $\to \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ で $\sin$ を出す $\to$ 正弦定理に代入する」という煩雑な3ステップを踏む必要がありますが、このルートを用いれば計算の手間と計算ミスの発生ポイントを大幅に削減できます。半径 $R$ が出れば、外接円の面積も $\pi R^2$ で流れるように完結します。