6分の1公式で積分を秒殺！記述試験の減点対策と証明・応用ワザ徹底解説

6分の1公式で積分を秒殺！記述試験の減点対策と証明・応用ワザ徹底解説の全貌を詳しく解説してご紹介します。

6分の1公式をマスターした後に必ず押さえておきたいのが、関連する「12分の1公式」と「3分の1公式」です。これらをシチュエーションに応じて使い分けることで、高校数学の微積分における計算効率は劇的に向上します。

■ 12分の1公式（放物線と2本の接線で囲まれた面積）
1つの放物線と、その上の2点 $\alpha, \beta$ における2本の接線、および放物線で囲まれた面積 $S$ は、6分の1公式のちょうど半分になります。
$$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$$
※さらに、3次関数の変曲点を通る直線や接線と曲線で囲まれる面積でも、係数を用いた12分の1公式（$\frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4$）が存在します。

■ 3分の1公式（放物線と接線・縦の直線で囲まれた面積）
放物線上の点 $\alpha$ における接線と、放物線、および直線 $x = \beta$ で囲まれた面積は次のようになります。
$$S = \frac{|a|}{3}|\beta - \alpha|^3$$

放物線と2接線の面積比が「放物線と直線（弦）がつくる面積：2接線がつくる面積 ＝ 2：1」になるという幾何学的性質も含め、これらの比率と公式を頭に入れておくことで、検算が一瞬で終わる強固な武器になります。