円の接線の方程式を完全攻略！公式の導出と裏ワザ解法を徹底解説

円の接線の方程式を完全攻略！公式の導出と裏ワザ解法を徹底解説を詳しくリサーチ! 読者が気になる トピックの裏側を分かりやすく展開します。

円の接線を扱う上で、すべての土台となるのが中心を原点とする基本公式です。円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上にある点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、次のシンプルな形で表されます。

$x_1x + y_1y = r^2$

なぜ $x^2$ を $x_1x$ に、$y^2$ を $y_1y$ に置き換えるだけで接線の方程式が導けるのでしょうか。この接線の方程式の証明は、主に「傾きの直交関係」または「ベクトルの内積」によって明快に説明できます。

原点 $O(0, 0)$ と接点 $P(x_1, y_1)$ を結ぶ半径 $OP$ の傾きは $\frac{y_1}{x_1}$ です。接線はこの半径と直交するため、接線の傾きは相互の積が $-1$ になることから $-\frac{x_1}{y_1}$ と定まります。点 $P(x_1, y_1)$ を通り傾きが $-\frac{x_1}{y_1}$ の直線の方程式を立てて式を整理すると、点 $P$ が円上にある条件 $x_1^2 + y_1^2 = r^2$ が適用され、見事に上記の公式が得られます。

中心が原点以外の円 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線についても、同様に平行移動の考え方を用いれば一瞬で導出できます。

$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2$

この公式も $2$ 乗のパーツの一方を接点座標に置き換えた構造になっており、丸暗記に頼らず仕組みで理解しておくことがミス防止の第一歩です。