1から100までの和はなぜ5050？ガウスの公式と秒速計算の裏ワザ

1から100までの和はなぜ5050？ガウスの公式と秒速計算の裏ワザの真相や最新動向に迫る! 専門的な視点で紐解きます。

ガウスの計算法は、高校数学の「数列」という単元において、より厳密に公式化されます。

等差数列の和の公式とその証明

等差数列とは、「隣り合う数字の差が常に一定である数列」のことです。1から100までの自然数は、初項が $1$、公差が $1$、項数が $100$ の等差数列です。

初項を $a$、末項（最後の数）を $l$、項数を $n$、その総和を $S$ と置きます。$S$ を通常の昇順と、逆から並べた降順の2通りで書き並べて足し合わせます。

$$S = a + (a+d) + (a+2d) + \dots + l$$

$$S = l + (l-d) + (l-2d) + \dots + a$$

この2本の式を上下で足し算すると、すべての項が $(a+l)$ になります。これが $n$ 個並ぶため、以下の等式が成立します。

$$2S = n(a + l)$$

$$S = \frac{n(a + l)}{2}$$

ここに $n=100, a=1, l=100$ を代入すると、$\frac{100(1 + 100)}{2} = 50 \times 101 = \mathbf{5050}$ となり、ガウスの解法と完全に一致することが数学的に証明されます。

1からNまでの和とシグマ記号（Σ）

一般に「1から任意の整数 $n$ までの和」を数学ではシグマ記号を用いて以下のように表します。

$$\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$$

この公式を覚えておけば、どのような範囲の総和であっても一瞬で計算可能です。例えば「1から1000までの和」であれば、$\frac{1000 \times 1001}{2} = 500 \times 1001 = \mathbf{500500}$ と即座に求まります。