面心立方格子の充填率・配位数を完全攻略！導出と計算の盲点徹底解説

面心立方格子の充填率・配位数を完全攻略！導出と計算の盲点徹底解説の重要ポイントをお届けします。役立つ情報が満載です。

結晶格子問題の集大成として出題されるのが密度計算です。公式を闇雲に丸暗記している受験生は、単位の変換ミス（cmとm、あるいはpmの取り違え）や、原子量・アボガドロ定数の掛け算・割り算の逆転によって壊滅的な失点を喫します。

密度とは本質的に「単位体積あたりの質量［$\text{g/cm}^3$］」です。したがって、単位格子を基準に考える場合、立式の手順は以下の2ステップに完全に集約されます。

1. 単位格子1個の体積 $V$［$\text{cm}^3$］を求める
2. 単位格子1個に含まれる原子（4個）の質量 $m$［g］を求める

原子量を$M$［g/mol］、アボガドロ定数を$N_{\text{A}}$［$/\text{mol}$］とすると、原子1個あたりの質量は $\frac{M}{N_{\text{A}}}$［g］です。面心立方格子の単位格子には原子が4個含まれているため、単位格子全体の質量は次のように定まります。

格子内の全質量 $m = \frac{M}{N_{\text{A}}} \times 4$ ［g］

立方体の格子定数を$a$［cm］とすれば、単位格子の体積は $a^3$［$\text{cm}^3$］ですから、密度$d$［$\text{g/cm}^3$］の立式は自然と完成します。

$d = \frac{\text{質量}}{\text{体積}} = \frac{\frac{4M}{N_{\text{A}}}}{a^3} = \frac{4M}{a^3 \cdot N_{\text{A}}}$ ［$\text{g/cm}^3$］

ここで多くの高校生が引っかかる実務的なトラップが、問題文で与えられる格子定数の単位です。問題文では通常、格子定数はピコメートル（pm）やナノメートル（nm）で提示されます。密度計算の最終単位は基本的に $\text{g/cm}^3$ を要求されるため、計算に入る前の段階で必ずcm単位へと換算しなければなりません。

具体的には、$1\text{ pm} = 10^{-12}\text{ m} = 10^{-10}\text{ cm}$ です。もし格子定数が $a = 400\text{ pm}$ と与えられたなら、即座に $a = 4.0 \times 10^{-8}\text{ cm}$ と書き直し、その3乗である $a^3 = 6.4 \times 10^{-23}\text{ cm}^3$ を体積として代入します。この換算手順をルーティン化できるかどうかが、計算ミスをゼロにする分水嶺となります。