三角関数の合成公式で挫折する理由とは？作図のコツと最大最小の解法

三角関数の合成公式で挫折する理由とは？作図のコツと最大最小の解法の具体的な内容に迫る! わかりやすい言葉でご紹介しています。

ここからは、実際の大学入試で出題される標準的な良問を用いて、作図法から最大値・最小値、そして方程式・不等式の処理に至る一連の流れを実演します。

例題：関数の最大値・最小値と方程式

【問題】
$0 \leqq \theta \leqq \pi$ のとき、関数 $f(\theta) = \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。また、$f(\theta) = 1$ を満たす $\theta$ の値を求めよ。

ステップ1：作図による関数の合成

$\sin \theta$ の係数は $1$、$\cos \theta$ の係数は $\sqrt{3}$ です。したがって、座標平面上に点 $P(1, \sqrt{3})$ を取ります。

• 線分 $OP$ の長さ：$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$
• なす角 $\alpha$：$1 : \sqrt{3} : 2$ の比率を持つ直角三角形であるため、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

よって、関数は以下のように変形されます。

$$f(\theta) = 2 \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$$

ステップ2：角の範囲制限（ここが最重要）

与えられた $\theta$ の条件は $0 \leqq \theta \leqq \pi$ です。今考えている動径の角は $\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ なので、すべての辺に $\frac{\pi}{3}$ を加えます。

$$\frac{\pi}{3} \leqq \theta + \frac{\pi}{3} \leqq \pi + \frac{\pi}{3} \implies \frac{\pi}{3} \leqq \theta + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{4}{3}\pi$$

単位円を描き、$\frac{\pi}{3}$ から $\frac{4}{3}\pi$ までの円弧を強調表示します。この動径の可動範囲を見失わないことが最大の防御策です。

ステップ3：最大値・最小値の特定

単位円上の $y$ 座標（サインの値）の推移を追跡します。

• 最大値：動径が真上（$\frac{\pi}{2}$）を通過できるかを確認します。$\frac{\pi}{3} \leqq \frac{\pi}{2} \leqq \frac{4}{3}\pi$ より通過可能です。
  $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ のとき、$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ は最大値 $1$ を取ります。
  したがって、最大値は $2 \times 1 = 2$（$\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき）となります。
• 最小値：動径の範囲内で最も $y$ 座標が低くなるのは、端点である $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4}{3}\pi$ の瞬間です。
  $\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。
  このとき $\theta = \frac{4}{3}\pi - \frac{\pi}{3} = \pi$ です。
  したがって、最小値は $2 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}$（$\theta = \pi$ のとき）となります。

ステップ4：方程式の解法

$f(\theta) = 1$ を解くには、合成後の式に代入します。

$$2 \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \implies \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

角の動径範囲 $\frac{\pi}{3} \leqq \theta + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{4}{3}\pi$ の中で、サインの値が $\frac{1}{2}$ となる角を探します。
通常の実数全体であれば $\frac{\pi}{6}$ と $\frac{5}{6}\pi$ ですが、$\frac{\pi}{6}$（$30^\circ$）は定義域の始点である $\frac{\pi}{3}$（$60^\circ$）よりも手前にあるため除外されます。
範囲内に存在する解は $\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{5}{6}\pi$ のみです。

$$\theta = \frac{5}{6}\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3}{6}\pi = \frac{\pi}{2}$$

このように、合成から定義域の追跡までを一連の「図形処理」としてルーティン化すれば、ケアレスミスの余地は完全に排除されます。