座標から三角形の面積を3秒で求める裏ワザ公式と空間座標の応用

座標から三角形の面積を3秒で求める裏ワザ公式と空間座標の応用に関する深掘り解説を丁寧に解説いたします。

平面座標（2次元）だけでなく、空間座標（3次元）においても同様のアプローチで高速計算が可能です。空間における3点 $A, B, C$ が与えられた場合も、まず1点を原点に平行移動して2つの空間ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$、$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ を作成します。

先ほどのベクトルの基本式 $S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ に3次元成分を代入して整理すると、「ラグランジュの恒等式」により以下の公式が導かれます。

$$S = \frac{1}{2} \sqrt{(a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2}$$

この式の根号内部にある3つの項 $(a_2 b_3 - a_3 b_2)$、$(a_3 b_1 - a_1 b_3)$、$(a_1 b_2 - a_2 b_1)$ は、大学数学や物理学で用いられる「外積（クロス積：$\vec{a} \times \vec{b}$）」の各成分に他なりません。

【実践例】：空間上の3点 $A(1, 1, 2)$、$B(3, 2, 4)$、$C(2, 4, 3)$ の面積を求める場合

• 点 $A$ を原点に平行移動：$\vec{AB} = (2, 1, 2)$、$\vec{AC} = (1, 3, 1)$
• 各成分のたすき掛けの差を計算：
  • $y$ と $z$ 成分：$(1 \times 1) - (2 \times 3) = 1 - 6 = -5$
  • $z$ と $x$ 成分：$(2 \times 1) - (2 \times 1) = 2 - 2 = 0$
  • $x$ と $y$ 成分：$(2 \times 3) - (1 \times 1) = 6 - 1 = 5$
• 面積の算出：$$S = \frac{1}{2} \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 5^2} = \frac{1}{2} \sqrt{25 + 0 + 25} = \frac{\sqrt{50}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

空間幾何において、垂線の足を置いて三平方の定理を繰り返すような複雑な作図をせずとも、ベクトルの外積成分を並べるだけで確実に解を導くことができます。