三角形の内接円の半径を瞬殺！公式の証明と直角三角形の裏ワザ解説

三角形の内接円の半径を瞬殺！公式の証明と直角三角形の裏ワザ解説に関する話題のニュースをまとめてご紹介します。関心のある方は必見です。

マークシート方式の試験や時間制限の厳しい共通テストにおいて、絶大な威力を発揮するのが直角三角形の内接円の半径に関するショートカット手法です。斜辺を$c$、直角を挟む2辺を$a, b$とするとき、以下の「内接円の半径 裏ワザ」が成り立ちます。

$$r = \frac{a+b-c}{2}$$

この公式を使えば、面積$S$を計算することなく、3辺の足し算と引き算だけで内接円の半径が瞬時に求まります。例えば、辺の比が $3:4:5$（$a=3, b=4, c=5$）の直角三角形であれば、$r = \frac{3+4-5}{2} = 1$ と、暗算レベルのわずか2秒で正解に到達可能です。

なぜこの式が成立するのか、その理由は円外の点から引いた「接線の長さの等質性」にあります。

• 直角の頂点を$C$とすると、内心$I$から辺$BC, CA$に下ろした垂線によって、頂点$C$の周りに1辺の長さが$r$の正方形が形成されます。
• 頂点$A$から内接円への接線の長さは $b - r$ となります。
• 頂点$B$から内接円への接線の長さは $a - r$ となります。
• 斜辺$c$は、これら2つの接線の長さの和に等しいため、$c = (a - r) + (b - r) = a + b - 2r$ が成り立ちます。

この等式を$r$について整理することで、$2r = a + b - c \iff r = \frac{a+b-c}{2}$ が導かれます。幾何学的な必然性に基づいた公式であるため、直角三角形という前提条件さえ満たしていれば、どのような数値であっても例外なく適用できます。