3倍角の公式は丸暗記するな！共通テストで勝つ導出術と忘れぬ語呂合わせ

3倍角の公式は丸暗記するな！共通テストで勝つ導出術と忘れぬ語呂合わせの総合ガイドをご紹介します。専門的な知識が満載です。

数学IIIを学ぶ理系受験生にとって、さらに強力かつスマートな武器となるのが「ド・モアブルの定理」を用いた導出手法です。この方法を用いれば、$\sin 3\theta$ と $\cos 3\theta$ の公式をたった1つの式から同時に抽出することが可能です。

ド・モアブルの定理より、以下の等式が成立します。
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$$ この左辺を二項定理によって直接展開します。
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta + 3i^2\cos\theta\sin^2\theta + i^3\sin^3\theta$$ 虚数単位の性質 $i^2 = -1, i^3 = -i$ を適用して実部と虚部に整理します。
$$= (\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta) + i(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta)$$ 両辺の実部と虚部を比較することで、以下の2式が同時に導かれます。

・実部（$\cos 3\theta$）：
$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

・虚部（$\sin 3\theta$）：
$\sin 3\theta = 3(1 - \sin^2\theta)\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$

二項展開の係数 $(1, 3, 3, 1)$ がそのまま公式の骨格を形作っている事実を理解すると、係数の「3」や「4」がどこから湧いてきたのかという数学的必然性が腑に落ちるはずです。