チェバの定理の逆を完全攻略！3直線の交点証明と記述の落とし穴

チェバの定理の逆を完全攻略！3直線の交点証明と記述の落とし穴の全貌を詳しく解説してご紹介します。

各大手予備校の難関大記述模試の採点現場や大学入試開示データを分析すると、多くの受験生が致命傷を負うチェバの定理の逆の落とし穴が浮き彫りになってきます。駿台や河合塾などの大手模試採点基準の分析によると、「比を掛けて1になることを明記したにもかかわらず、満点のうち3〜4割を減点された」という事例が頻発しています。

減点される答案には、判で押したように共通する2つの重大な論理的脱落が存在します。

第1の落とし穴は、「分点P、Q、Rの内分・外分に関する位置関係への言及漏れ」です。比の積が1になる点というのは、辺を内分しているのか外分しているのかを明記しない限り、幾何学的に一意に定まりません。たとえば、3辺すべてを外分するケースでは比の積が1になっても3直線は1点で交わらず、三角形の外部で別々の交点を作って破綻します。「点P、Q、Rはすべて辺BC、CA、AB上にある（＝すべて内分点である）」という文言、あるいは「P、Q、Rのうち外分点が2個である」という幾何学的事実を答案冒頭に1行書くだけで防げる失点であるにもかかわらず、式変形だけに意識が奪われて見落とされがちです。

第2の落とし穴は、「直線が平行になる可能性の排除」です。初等幾何学の厳密な定義では、比の積が1になる場合、3直線が1点で交わるだけでなく「3直線がすべて平行になる」という退化したケースが論理的に含まれます。高校入試や一般的な大学入試問題では直感が働き、平行でないことは自明とみなされがちですが、厳格な採点官が揃う難関大の記述試験では「直線APと直線BQは明らかに平行でないため、交点を持つ」旨の言及がない答案に対し、平然とマイナス1〜2点のペナルティが科されます。

「公式さえ暗記していれば幾何は解ける」という安易な思い込みを捨て、定理が適用できる土俵が整っていることを言葉で示すことこそが、採点官に対する最大の説得力になります。