位置ベクトルとは？普通のベクトルとの違いや公式を図解で徹底解説

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位置ベクトルを扱う際、多くの人が「基準点Oはどこに置けばいいのか」で迷います。数学的な結論から言えば、基準点は空間のどこに置いても最終的な答えは一致します。しかし、計算の手間という実戦的な観点からは、基準点の選び方が合否を分けるほど重要になります。

最も典型的なテクニックは、三角形や四面体の問題において「図形の頂点の1つ（例えば点A）を基準点にする」という手法です。点Aを基準点に設定すると、点A自身の位置ベクトルはゼロベクトル（$\vec{0}$）になるため、計算式から文字が1つ完全に消滅します。残る頂点B、頂点Cの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{b} = \vec{AB}$、$\vec{c} = \vec{AC}$ と置くだけで、以降の立式が劇的にシンプルになります。

一方で、外心や推進、重心などが絡む対称性の高い問題では、あらかじめ外接円の中心や座標平面の原点 $(0, 0)$ を基準点Oに据えたほうが、全体のバランスが崩れず見通しが良くなる場合もあります。問題の構造を観察し、「ゼロにできる要素はどこか」を見極める姿勢が大切です。