円錐の高さの求め方を完全攻略！三平方の定理と体積逆算の時短公式

円錐の高さの求め方を完全攻略！三平方の定理と体積逆算の時短公式の注目ポイントを丁寧に掘り下げてご紹介します。

円錐の頂点から底面の円の中心へ下ろした垂線は、底面と垂直（90度）に交わります。このとき、円錐の内部には「母線」「底面の半径」「高さ」の3辺からなる直角三角形が綺麗に立ち現れます。

この直角三角形において、母線が斜辺に該当するため、中学3年生で学習する三平方の定理（ピタゴラスの定理）を適用できます。母線の長さを $\ell$、底面の半径を $r$、高さを $h$ と置くと、以下の関係式が成り立ちます。

$$\ell^2 = r^2 + h^2$$

これを高さ $h$ について変形した計算式が次の通りです。

$$h = \sqrt{\ell^2 - r^2}$$

例えば、母線の長さが $5\text{ cm}$、底面の半径が $3\text{ cm}$ の円錐であれば、高さは $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = \mathbf{4\text{ cm}}$ と瞬時に求まります。立体図形の断面に潜む直角三角形を見つけ出す視点こそが、空間図形攻略の第一歩です。