等比数列の和の公式を完全攻略！R-1と1-Rの使い分けと導出法

等比数列の和の公式を完全攻略！R-1と1-Rの使い分けと導出法の注目ポイントを分かりやすくまとめてご紹介します。

公式を忘れてしまったり、符号の順序が曖昧になったりしたときは、自力で公式を導出できる状態にしておくことが最強のリスクヘッジになります。等比数列の和の公式証明は、驚くほどシンプルです。

まず、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を書き並べます。
［式1］ $S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}$

次に、［式1］の両辺に公比 $r$ を掛け、右辺の項を1つ右にずらして書きます。
［式2］ $rS_n = \quad\quad ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} + ar^n$

［式1］から［式2］を辺々引くと、中央の項がすべて相殺されて消去されます。
$(1 - r)S_n = a - ar^n = a(1 - r^n)$

ここで $r \neq 1$ であれば、両辺を $(1 - r)$ で割ることができるため、公式が得られます。
$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$

この「公比を掛けて差を取る（$S - rS$）」という手法こそが、等比数列の和導出理由の中核であり、後述する「等差数列と等比数列の積の和」を解く際にもそのまま流用できる超重要テクニックです。