なぜ難関大で頻出？平均値の定理の直感的意味と入試攻略の極意

なぜ難関大で頻出？平均値の定理の直感的意味と入試攻略の極意とは一体何なのか? 主要なファクトを整理してお届けします。

受験生が最も知りたい平均値の定理の使い方と、出題者がこの定理を好む理由を解き明かします。平均値の定理の入試問題には、はっきりとした「発動サイン」が存在します。

代表的な活用シーンは以下の2点です。

① 平均値の定理による不等式の証明
問題文に「$\sin x < x$」や「$e^b - e^a > b - a$」のような、異なる2つの値を代入した関数の差が含まれている場合、ほぼ確実に平均値の定理が視野に入ります。具体的には、$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ の形に変形し、$a < c < b$ の範囲で導関数 $f'(c)$ の取り得る値の範囲を評価することで、目的の不等式を鮮やかに証明できます。

② 平均値の定理を用いた極限の算出
$\lim_{x \to \infty} x^2 \left( \cos\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x+1} \right)$ のような、一見すると不定形の解消が極めて困難に見える極限問題でも威力を発揮します。関数の差の部分を $f'(c)$ を用いた積の形へ書き換えることで、はさみうちの原理と組み合わせて瞬時に極限値を特定することが可能です。