3乗の公式を完全攻略！符号の覚え方と展開・因数分解の全パターン解説

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公式の記憶をより強固なものにするためには、「自力で30秒以内に公式を証明・導出できる」状態を作っておくことが欠かせません。導出の手順を一度でも自分の手で紙に書いておけば、試験中に万が一ド忘れした場合でも、その場で安全に再現できます。

まずは和の3乗の展開公式 $(a+b)^3$ の導出です。3乗は「1乗 $\times$ 2乗」に分解できます。

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$

ここで、中学で習った2乗の展開公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を代入して分配法則を適用します。

$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2)$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

同類項である $2a^2b + a^2b = 3a^2b$ と $ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2$ をまとめると、見事に公式 $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ が得られます。

次に、因数分解公式 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ の証明です。これは右辺を展開して左辺になることを示すのが最も平易です。

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)$
$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

途中の $-a^2b + a^2b$ および $+ab^2 - ab^2$ が見事に相殺されて消去され、$a^3 + b^3$ だけが残ります。この「途中の項が波のように相殺されて両端だけが残る感覚」を視覚的に体験しておくことが、記憶の定着率を飛躍的に高めます。