共分散の求め方を徹底図解！分散・相関係数との違いやExcel計算まで網羅

共分散の求め方を徹底図解！分散・相関係数との違いやExcel計算まで網羅の注目されている理由を丁寧にまとめました。全体像を一目で把握できます。

高校数学の「データの分析」や大学のデータ分析・統計学基礎において、共分散は2変量データの関連性を数値化する第一歩として登場します。まず、一般的に用いられる共分散の公式を確認しましょう。2つの変数 $x$ と $y$ のデータ数がそれぞれ $n$ 個あるとき、共分散 $s_{xy}$ は以下の数式で定義されます。

$$s_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

この数式を分解すると、行っている処理は極めてシンプルです。各データ点について「$x$ の偏差（データ値 $-$ 平均値）」と「$y$ の偏差（データ値 $-$ 平均値）」を掛け合わせ、その総和である「偏差積和（へんさせきわ）」を算出し、最後にデータ数 $n$ で割って平均化しています。

では、なぜ偏差同士の積を取ると2つのデータの連動性がわかるのでしょうか。散布図を思い浮かべてみてください。平均値 $(\bar{x}, \bar{y})$ を原点とする新しい座標軸を引くと、データは4つの象限に分かれます。

• 第1象限（右上）：$x$ も $y$ も平均より大きい（正 $\times$ 正 $=$ 正）
• 第3象限（左下）：$x$ も $y$ も平均より小さい（負 $\times$ 負 $=$ 正）
• 第2象限（左上）：$x$ は平均より小さく、$y$ は平均より大きい（負 $\times$ 正 $=$ 負）
• 第4象限（右下）：$x$ は平均より大きく、$y$ は平均より小さい（正 $\times$ 負 $=$ 負）

「$x$ が増えれば $y$ も増える」という正の相関傾向がある場合、データ点の多くは第1象限と第3象限に集まります。これらを掛け合わせるとどちらも「正の値」になるため、総和である偏差積和、ひいては共分散も正の大きな値になります。逆に、「$x$ が増えると $y$ が減る」という負の相関関係がある場合、第2象限と第4象限のデータが支配的となり、共分散は負の値をとります。この幾何学的な直感こそが、共分散の求め方を理解する最大の鍵です。