もう公式で迷わない！方べきの定理3パターンの本質と共通テスト攻略

もう公式で迷わない！方べきの定理3パターンの本質と共通テスト攻略に関する深掘り記事を速報でお届けします。最新情報を求める方は必見です。

理解を確固たる得点力に変えるため、代表的な実践問題を解いて解法の手順を確認しましょう。

【問題1：円の外部の点と割線】
円の外部にある点 $P$ を通る2本の直線がある。一方の直線が円と交わる点を手前から $A, B$ とし、$PA = 3, AB = 5$ とする。もう一方の直線が円と交わる点を手前から $C, D$ とし、$PC = 4$ であるとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。

【解答手順】
1. 全体の長さを正しく把握する：$PB = PA + AB = 3 + 5 = 8$ です。
2. 方べきの定理を立式する：$PA \times PB = PC \times PD$ より、$3 \times 8 = 4 \times PD$ となります。
3. 線分 $PD$ を算出する：$24 = 4 \times PD \implies PD = 6$。
4. 求めたい $CD$ を計算する：$CD = PD - PC = 6 - 4 = 2$ と導けます。

※よくある間違いは、$PA \times AB$ のように「円の外側の線分 × 円の内部の弦」で計算してしまうミスです。常に「交点 $P$ からの距離」をかける原則を徹底してください。

【問題2：接線を含む応用】
点 $P$ から円に引いた接線の接点を $T$ とする。点 $P$ を通る割線が円と交わる点を $A, B$（$PA < PB$）とし、$PT = 6, PA = 4$ のとき、弦 $AB$ の長さを求めよ。

【解答手順】
1. 接線の公式を適用する：$PA \times PB = PT^2$ より、$4 \times PB = 6^2 = 36$。
2. $PB$ の長さを出す：$PB = 9$。
3. 弦 $AB$ を求める：$AB = PB - PA = 9 - 4 = 5$ となります。