複素数の範囲で因数分解！係数掛け忘れの罠と満点を掴む完全解法

複素数の範囲で因数分解！係数掛け忘れの罠と満点を掴む完全解法の要点や背景を専門的かつ分かりやすくまとめました。全体像を一目で把握できます。

入試本番で差がつくのは、2次式にとどまらず「3次方程式因数分解」と連動した応用問題です。3次以上の高次式を複素数の範囲で因数分解する場合、数学IIの重要ツールである因数定理との組み合わせが必須となります。

【応用例題】$P(x) = 2x^3 - x^2 + 2x - 1$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

3次式の場合、解の公式をいきなり使うことはできません。以下の正統なアプローチで段階的に次数を下げていきます。

1. 因数定理により実数の解（有理数解）を1つ特定する

$P(x) = 0$ となる候補は、$\pm \frac{\text{定数項の約数}}{\text{最高次の係数の約数}}$ です。ここでは $x = \frac{1}{2}$ を代入してみます。

$$P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{8}\right) - \left(\frac{1}{4}\right) + 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 - 1 = 0$$

因数定理より、$P(x)$ は $\left(x - \frac{1}{2}\right)$、あるいは整数の形として $(2x - 1)$ を因数に持つことが確定します。

2. 割り算（筆算または組立除法）で2次式を抽出する

$P(x)$ を $(2x - 1)$ で割ると、商として $x^2 + 1$ が得られます。

$$P(x) = (2x - 1)(x^2 + 1)$$

3. 残った2次式を複素数の範囲で分解する

$x^2 + 1 = 0$ の解は $x = \pm i$ です。したがって、$x^2 + 1 = (x + i)(x - i)$ と因数分解できます。全体を統合すると、以下の解答が完成します。

$$\mathbf{P(x) = (2x - 1)(x + i)(x - i)}$$

もし最初の因数を $\left(x - \frac{1}{2}\right)$ として分解を進めた場合、商は $2x^2 + 2 = 2(x^2 + 1)$ となり、最終的な解答は $2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + i)(x - i)$ となります。どちらの記法であっても、最高次の係数である「$2$」が式全体に反映されているかどうかが、採点官のチェックする唯一最大のポイントです。