円の方程式を完全攻略！標準形・一般形の使い分けと接線の裏ワザ

円の方程式を完全攻略！標準形・一般形の使い分けと接線の裏ワザを詳しくリサーチ! 知っておきたい 重要ポイントを凝縮して配信します。

定期試験や入試基礎問題で頻出となるのが3点を通る円の方程式の決定問題です。例えば「3点 $(1, 1)$, $(5, -1)$, $(-3, -7)$ を通る円の方程式を求めよ」という設問に対する最も効率的なアプローチを確認します。

こうした円の方程式 求め方では、一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ に対し、各点の座標 $(x, y)$ を順次代入して円の方程式 連立方程式を組み立てるのが定石です。

1点目 $(1, 1)$ を代入：
$1^2 + 1^2 + l + m + n = 0 \implies l + m + n = -2 \quad \text{…(1)}$

2点目 $(5, -1)$ を代入：
$5^2 + (-1)^2 + 5l - m + n = 0 \implies 5l - m + n = -26 \quad \text{…(2)}$

3点目 $(-3, -7)$ を代入：
$(-3)^2 + (-7)^2 - 3l - 7m + n = 0 \implies -3l - 7m + n = -58 \quad \text{…(3)}$

この3元1次連立方程式を解く際の鉄則は、すべての式に含まれている「$n$ を真っ先に消去すること」です。

(2)式から(1)式を引くと、
$(5l - m + n) - (l + m + n) = -26 - (-2) \implies 4l - 2m = -24 \implies 2l - m = -12 \quad \text{…(4)}$

(3)式から(1)式を引くと、
$(-3l - 7m + n) - (l + m + n) = -58 - (-2) \implies -4l - 8m = -56 \implies l + 2m = 14 \quad \text{…(5)}$

(4)と(5)を連立して解くことで $l = -2$, $m = 8$ が導かれ、(1)に代入すれば $n = -8$ が確定します。したがって、求める円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0$（標準形に直すと $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25$）となります。