アークサイン微分の導出と公式解説！なぜルートが現れるのか徹底解明

今注目を集めている アークサイン微分の導出と公式解説！なぜルートが現れるのか徹底解明について、多角的な視点をご紹介しています。

逆三角関数の基本を押さえるにあたり、まずはアークサインの微分公式の全体像と、見落としがちな前提条件を整理しておきましょう。

アークサイン $y = \arcsin x$（または $\sin^{-1} x$）の導関数は、次の形で与えられます。

$$(\arcsin x)' = \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

ここで極めて重要なのが、アークサインの微分における定義域の扱いです。もともとの関数 $y = \arcsin x$ の定義域は $-1 \le x \le 1$、値域（主値）は $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ です。しかし、微分した後の導関数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ では、分母がゼロになってはならないため、端点である $x = \pm 1$ を除外した $-1 < x < 1$ が微分の定義域となります。

グラフの形状をイメージすると、端点 $x = \pm 1$ では接線の傾きが無限大（垂直）に発散するため、通常の微分係数が定義できないという幾何学的な理由からも納得できます。