円のベクトル方程式で差がつく理由とは？公式導出と内積変形の完全攻略

円のベクトル方程式で差がつく理由とは？公式導出と内積変形の完全攻略の重要なポイントについて、分かりやすい解説を基に徹底解説します。

理解を確固たる得点力へと昇華させるため、難関私立・国公立大学の文理共通レベルで出題される実践問題に挑んでみましょう。

問題1：条件式から円の幾何的性質を特定する

定点 $A(\vec{a})$ と動点 $P(\vec{p})$ があり、$\vec{a} \ne \vec{0}$ とする。動点 $P$ が等式
$|\vec{p}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{p} + 3|\vec{a}|^2 = 0$
を満たしながら動くとき、点 $P$ はどのような図形上にあるか答えよ。

【思考プロセスと詳細解説】
問題文を見た瞬間に「$|\vec{p}|^2$ と $\vec{a} \cdot \vec{p}$ の混在＝円の平方完成」と反射的に見抜くことが第一歩です。

与式より、$\vec{p}$ に関する項を左辺に集め、定数項を移項します。
$|\vec{p}|^2 - 2(2\vec{a}) \cdot \vec{p} = -3|\vec{a}|^2$

左辺を完全平方式にするため、$(2\vec{a})$ の大きさの2乗、すなわち $|2\vec{a}|^2 = 4|\vec{a}|^2$ を両辺に加えます。
$|\vec{p}|^2 - 2(2\vec{a}) \cdot \vec{p} + |2\vec{a}|^2 = -3|\vec{a}|^2 + 4|\vec{a}|^2$
$\iff |\vec{p} - 2\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2$

$|\vec{a}| > 0$ であるから、両辺の平方根を取ると、
$|\vec{p} - 2\vec{a}| = |\vec{a}|$

【解答】
点 $P$ は、線分 $OA$ を $2 : 1$ に外分する点（位置ベクトル $2\vec{a}$ の点）を中心とし、半径が $|\vec{a}|$ の円周上にある。

問題2：直径の両端型への帰着を見抜く応用問題

平面上の相異なる3点 $A(\vec{a}), B(\vec{b}), P(\vec{p})$ について、等式
$\vec{p} \cdot (\vec{p} - \vec{a} - \vec{b}) = -\vec{a} \cdot \vec{b}$
が成り立つとき、点 $P$ の描く図形を求めよ。

【思考プロセスと詳細解説】
一見すると複雑な内積の等式ですが、すべてを左辺に集めて因数分解のような形を作れないか模索します。

左辺を展開して整理します。
$|\vec{p}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{p} - \vec{b}\cdot\vec{p} + \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

この左辺をよく観察すると、高校数学Iの因数分解公式 $x^2 - (a+b)x + ab = (x-a)(x-b)$ と全く同じ構造をしていることがわかります。
共通因数でくくるように式を変形します。
$\vec{p} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) - \vec{b} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$
$\iff (\vec{p} - \vec{b}) \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0$

内積の可換性（交換法則）より、これはまさに2点 $A, B$ を直径の両端とする円の方程式そのものです。

【解答】
点 $P$ は、線分 $AB$ を直径とする円周上にある。