面心立方格子の配位数が「12」になる本当の理由と充填率を完全解説

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充填率の導出は、公式をそのまま暗記するのではなく、単位格子の1辺の長さ（格子定数 $a$）と原子半径 $r$ の幾何学的関係式を自力で立てられるようにすることが最大の近道です。

ステップ1：断面から格子定数 $a$ と原子半径 $r$ の関係を導く

面心立方格子では、単位格子の「面の対角線」に沿って3つの球（頂点＋面心＋頂点）が隙間なく接触しています。1辺の長さが $a$ の正方形の対角線の長さは $\sqrt{2}a$ です。この対角線上に、原子の半径が「$r + 2r + r = 4r$」分だけ並んでいるため、以下の基本等式が成立します。

$$\sqrt{2}a = 4r \iff r = \frac{\sqrt{2}}{4}a \iff a = 2\sqrt{2}r$$

ステップ2：単位格子内の原子数と全体積を計算する

単位格子の中に実質何個の球が含まれているかを算出します。

• 8箇所の頂点：$\frac{1}{8}$ 球 $\times 8 = 1$ 個
• 6箇所の面心：$\frac{1}{2}$ 球 $\times 6 = 3$ 個
• 合計原子数：$1 + 3 = 4$ 個

球1個の体積は $V_{\text{atom}} = \frac{4}{3}\pi r^3$ であるため、単位格子内に含まれる原子の全体積 $V_{\text{total}}$ は次のようになります。

$$V_{\text{total}} = 4 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{16}{3}\pi r^3$$

ステップ3：充填率の算出

立方体全体の体積は $V_{\text{cell}} = a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$ です。充填率は「原子の体積 $\div$ 立方体の体積 $\times 100$」で求められます。

$$\text{充填率} = \frac{V_{\text{total}}}{V_{\text{cell}}} \times 100 = \frac{\frac{16}{3}\pi r^3}{16\sqrt{2}r^3} \times 100 = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \times 100 \approx \frac{3.1416}{3 \times 1.4142} \times 100 \approx 74.05\%$$

このように、数値「74%」は丸暗記するものではなく、$\frac{\pi}{3\sqrt{2}}$ という簡潔な分数式から自然に導き出される必然的な数値です。