確率PとCの違いが3秒でわかる！迷わない見分け方と計算ミス防止の極意

確率PとCの違いが3秒でわかる！迷わない見分け方と計算ミス防止の極意に関する注目トピックを速報でお届けします。関心のある方は必見です。

標準的な順列・組合せをマスターした後に立ちはだかるのが、重複順列と重複組合せの違いです。国公立二次試験や難関私立大学の受験数学 確率の頻出パターンまとめにおいても、この2つの識別は合否を分ける最頻出テーマとなっています。

1. 重複順列（$n^r$）の構造

重複順列は、「同じものを何度使ってもよい」という条件下で並べる場合の数です。代表的なモデルは以下の通りです。

• 暗証番号・文字列：0から9までの数字を使って作れる4桁の暗証番号（$10^4 = 10,000$ 通り）。
• 部屋割り問題：区別のある5人を、A・Bの2つの部屋に割り振る方法（$2^5 = 32$ 通り）。※空室を許さない場合はここから除外処理を行う。

2. 重複組合せ（$_n\text{H}_r$）の構造

重複組合せは、「区別のつかない複数の対象を、区別のあるグループに分ける」または「同じ種類の品物を重複を許して選ぶ」処理です。これを公式だけで解こうとすると破綻します。教育現場で最も推奨されるのは「〇（玉）と｜（仕切り棒）」のモデルです。

例えば、「リンゴ、ミカン、バナナの3種類の果物から、重複を許して合計5個選ぶ」場合を考えます。

• 3種類に分けるための「仕切り棒」は $3 - 1 = 2$ 本必要です。
• 選ぶ果物の数を示す「玉」は 5 個です。
• 合計 $5 + 2 = 7$ 個の並べ替えとなるため、計算は ${}_{3+5-1}\text{C}_5 = {}_7\text{C}_5 = {}_7\text{C}_2 = \mathbf{21通り}$ となります。

「分ける対象に区別があるか（重複順列）」「分ける対象に区別がないか（重複組合せ）」という視点を持つことで、難解な分配問題も瞬時に整理できるようになります。