正多面体の頂点の数と覚え方完全ガイド！全5種類の定理と裏ワザまとめ

正多面体の頂点の数と覚え方完全ガイド！全5種類の定理と裏ワザまとめの全体像を詳しく解説してご紹介します。

万が一、試験中にすべての記憶が飛んでしまったとしても、「立体の面の形」さえ覚えていれば、すべての頂点と辺の数を数式で復元できます。ここで活躍するのが「辺・頂点の個別導出法」と「オイラーの多面体定理」です。

1. 辺の数（E）を瞬時に導出する計算式

正多面体の辺は、「1つの面が持つ辺の数」と「面の総数」を掛け合わせ、それを2で割ることで算出できます。立体を組み立てると、必ず「2つの面が合わさって1本の辺」を共有するためです。

【計算公式：辺の数】
辺の数 (E) = (1つの面の辺の数 × 面の数) ÷ 2

• 正十二面体の場合：正五角形（辺5本）が12面 ➔ (5 × 12) ÷ 2 = 30本
• 正二十面体の場合：正三角形（辺3本）が20面 ➔ (3 × 20) ÷ 2 = 30本
• 正八面体の場合：正三角形（辺3本）が8面 ➔ (3 × 8) ÷ 2 = 12本

2. 頂点の数（V）を瞬時に導出する計算式

頂点の数も同様の論理で計算できます。「1つの面が持つ頂点の数」と「面の総数」を掛け合わせ、それを「1つの頂点に集まる面の数」で割るだけです。

【計算公式：頂点の数】
頂点の数 (V) = (1つの面の頂点の数 × 面の数) ÷ (1つの頂点に集まる面の数)

• 正十二面体の場合：正五角形（頂点5個）が12面、1つの頂点に3面集まる ➔ (5 × 12) ÷ 3 = 20個
• 正二十面体の場合：正三角形（頂点3個）が20面、1つの頂点に5面集まる ➔ (3 × 20) ÷ 5 = 12個

3. オイラーの多面体定理（オイラーの公式）による最終検算

18世紀の大数学者レオンハルト・オイラーが発見した多面体定理は、穴の開いていないすべての凸多面体において常に成立する普遍的な関係式です。

【オイラーの多面体定理】
頂点の数（Vertices） - 辺の数（Edges） + 面の数（Faces） = 2
V - E + F = 2

この公式を変形すると、頂点の数 (V) = 辺の数 (E) - 面の数 (F) + 2 となります。辺の数を先ほどの手法で算出し、面の数を引いて2を足せば、どのような複雑な立体でも一瞬で頂点の数が確定します。