三元一次方程式の解き方完全攻略！ミスを激減させる文字消去の鉄則

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連立三元一次方程式を解くにあたって、絶対にブレてはならない唯一無二の黄金律があります。それは、「最初に標的とする文字を1つだけ選び、その文字を完全に消し去るまで他の文字に目移りしないこと」です。

教科書や参考書では「三元一次方程式加減法」と「三元一次方程式代入法」の双方が紹介されますが、実戦においてどちらを選択すべきかは明確な判断基準が存在します。

【加減法を選ぶべきケース】
すべての式の係数が2や3など揃っておらず、どの文字も単独（係数が1または-1）で孤立していない場合。一般的には加減法が最も視覚的エラーを起こしにくく、定石中の定石と位置づけられます。

【代入法を選ぶべきケース】
3つの式の中に「$z = 2x - 1$」のように、すでに1つの文字について解かれている式がある場合、あるいは「$x + 2y - 3z = 4$」のように係数が「1」の文字が含まれている場合。この文字について解いて残りの2式に代入すれば、瞬時に変数を2つへ絞り込めます。

ここで、基本となる標準モデルを例に、頭の中で起きている混乱を整流化するステップを確認してみましょう。

① $x + y + z = 6$　…… (1)
② $2x - y + z = 3$　…… (2)
③ $x + 2y - z = 2$　…… (3)

この場合、どの文字を消すべきでしょうか。よく観察すると、$z$ の係数が「$+1$, $+1$, $-1$」となっており、符号の相性が抜群です。したがって、ターゲットは「$z$」に即決します。

ステップ1：異なるペアから同一のターゲット文字を消去する
まず式(1)と式(3)を足し合わせます。
$(x + y + z) + (x + 2y - z) = 6 + 2 \implies 2x + 3y = 8$　…… (4)
次に、式(2)と式(3)を足し合わせます。
$(2x - y + z) + (x + 2y - z) = 3 + 2 \implies 3x + y = 5$　…… (5)

ステップ2：使い慣れた二元連立方程式に持ち込む
式(4)と式(5)を眺めれば、見慣れた中学2年生レベルの連立方程式です。式(5)を3倍して式(4)から引く加減法を用いれば、$-7x = -7$ となり、直ちに $x = 1$ が求まります。
これを式(5)へ代入すれば、$3(1) + y = 5$ より $y = 2$ が確定します。

ステップ3：元の式へ戻して最後の1文字を確定させる
求めた $x = 1, y = 2$ を最も計算が容易な式(1)へ代入します。
$1 + 2 + z = 6 \implies$ $z = 3$。
これにより、解の組 $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ が滞りなく得られます。