変化の割合の求め方を徹底解説！一次関数の公式と裏ワザで差がつく数学

変化の割合の求め方を徹底解説！一次関数の公式と裏ワザで差がつく数学にまつわる役立つ知識を分かりやすく発信ます。

中学3年生で学習する二次関数（放物線）$y = ax^2$において、$x$の値が$p$から$q$まで増加するときの変化の割合には、学習塾業界で広く伝授されている極めて強力な「時短公式」が存在します。

二次関数の変化の割合裏ワザ公式： $a(p + q)$

例えば、「関数 $y = 3x^2$ において、$x$の値が$2$から$5$まで増加するときの変化の割合を求めよ」という問題を考えてみます。通常の教科書通りの手順を踏むと、以下の3段階の計算を強いられます。

1. $x=2$のとき$y = 3 \times 2^2 = 12$、$x=5$のとき$y = 3 \times 5^2 = 75$
2. $x$の増加量は $5 - 2 = 3$、$y$の増加量は $75 - 12 = 63$
3. 変化の割合は $\frac{63}{3} = 21$

これに対し、裏ワザ公式 $a(p + q)$ を使用すると、比例定数$3$に区間の両端の和（$2 + 5 = 7$）を掛けるだけで、$3 \times (2 + 5) = 21$ とわずか3秒で暗算完了します。高校入試数学の小問集合において、この時間短縮は精神的な余裕と見直しの時間を創出する決定的な武器となります。

この解き方が成立する理由は、高校数学の因数分解を用いることで明快に証明できます。

変化の割合 ＝ $\frac{aq^2 - ap^2}{q - p} = \frac{a(q^2 - p^2)}{q - p} = \frac{a(q - p)(q + p)}{q - p}$

分母と分子にある共通因数 $(q - p)$ が約分されるため、最終的に必ず $a(p + q)$ が残る仕掛けです。魔法の呪文ではなく純粋な代数変形の結果であると理解しておけば、万が一本番でど忘れした際も自力で公式を再現できます。