0÷0の答えはなぜ出ない？「不定と不能」の違いやSiriの神回答を解説

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「たかが計算ができないくらいで、なぜそこまで厳密に禁止するのか」と疑問に感じる方もいるかもしれません。しかし、もし仮にゼロ除算を認めてしまうと、世界中の数学的整合性が一瞬で破綻します。それを鮮やかに示す有名な偽証明を紹介します。

まず、0ではない等しい2つの数「a」と「b」を用意します。
1. a ＝ b

両辺に「a」を掛けます。
2. a² ＝ ab

両辺から「b²」を引きます。
3. a² − b² ＝ ab − b²

両辺を因数分解します。
4. (a ＋ b)(a − b) ＝ b(a − b)

ここで、両辺に共通する「(a − b)」で割ります。
5. a ＋ b ＝ b

最初の前提である「a ＝ b」を代入します。
6. b ＋ b ＝ b （つまり 2b ＝ b）

両辺を「b」で割ると、以下の衝撃的な結論が導かれます。
7. 2 ＝ 1

一見すると非の打ち所がない美しい変形に見えますが、決定的な過ちが1箇所だけ存在します。それはステップ5の「両辺を (a − b) で割った」という操作です。最初に「a ＝ b」と置いているため、(a − b) は厳密に「0」になります。つまり、無意識のうちに禁忌であるゼロ除算を行った瞬間に、論理が暴走して1と2が等しいという異常事態を引き起こしたのです。

歴史上の数学者たち、たとえばインドのバースカラ2世や18世紀の大数学者レオンハルト・オイラーらもゼロ除算の扱いに苦心してきました。長年の格闘の末、数学界は「0で割る操作そのものを定義から除外する」ことで、学問全体の整合性を守る道を選んだ経緯があります。