ベクトルのなす角で差がつく理由！内積公式の真実と0〜180度の罠

ベクトルのなす角で差がつく理由！内積公式の真実と0〜180度の罠を徹底追究! 読者が気になる トピックの裏側を凝縮して配信します。

座標平面や座標空間における計算では、成分表示の計算方法を活用します。図形を描いて長さを測る必要がなく、各座標の掛け算と足し算だけで内積と大きさを求められる点が強みです。

2次元平面におけるベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$、$\vec{b} = (b_1, b_2)$ の場合、内積と大きさは次の通り計算します。

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$$

3次元の空間ベクトルのなす角を求める場合も、考え方は全く同一です。成分が1つ増えて $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$、$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ となりますが、計算式は自然に拡張されます。

$$\cos\theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$$

空間図形は立体的に捉えようとすると把握が難しくなりますが、成分計算に持ち込めば平面と変わらない手間で正確な角度を算出できます。