積分が3秒で解ける！「1/6公式」の導出・証明と共通テスト攻略

積分が3秒で解ける！「1/6公式」の導出・証明と共通テスト攻略にまつわる興味深い視点を分かりやすく発信ます。

数学IIの面積問題で最も頻出するのが、2次関数（放物線）と直線、あるいは2つの放物線によって囲まれた部分の面積を求めるパターンです。通常の手順であれば、2つのグラフの交点を求め、上下関係を把握した上で定積分を実行し、上端と下端の数値を代入して引き算するという長い計算過程を踏まなければなりません。

この面倒な定積分を一撃で完結させるのが1/6公式です。交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ （ただし $\alpha < \beta$）とし、2次関数の2次の係数を $a$ と置いたとき、求める面積 $S$ は次のシンプルな式で表されます。

$$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$$

この公式の最大の強みは、「2次方程式の解の差」を3乗して係数を掛けるだけで面積が求まる点にあります。面倒な原始関数の立式や分数の通分作業を一切挟まないため、通常の計算で2〜3分かかる処理を10秒前後に短縮することが可能です。