ベルヌーイの微分方程式を完全攻略！解法と変数変換のコツと罠

今注目を集めている ベルヌーイの微分方程式を完全攻略！解法と変数変換のコツと罠について、多角的な視点をご紹介しています。

全国の理工系大学における講義アンケートや演習指導の現場データ、さらには院試過去問の採点基準を精査すると、受験生が失点するポイントには明確な偏りが見られます。

最も典型的なミスは、解の除外条件と特異解・特殊解の確認不足です。解法の第1ステップで「両辺を $y^n$ で割る」際、数学的には $y \neq 0$ という前提が無意識に設定されます。しかし、$n > 0$ である場合、元の微分方程式に $y = 0$ を代入すると明らかに等式が成立します。

この $y = 0$ は、任意定数 $C$ をいかに変化させても一般解から表現できない場合は特異解となり、任意定数の極限などで包含できる場合は特殊解の一部として扱われます。解答の末尾に「また、$y = 0$ も解である」という一文を添え忘れただけで、10点満点中2〜3点の減点を課す大学は決して珍しくありません。

もう一つの頻出ミスは、変数変換時の符号処理です。$z = y^{1-n}$ を微分した際、係数として飛び出してくる $(1-n)$ を、線形方程式を整理する段階で割り忘れたり、符号を反転させ忘れたりする計算事故が多発しています。