極方程式とは？直交座標変換から有名曲線のグラフ攻略まで完全網羅

極方程式とは？直交座標変換から有名曲線のグラフ攻略まで完全網羅について見逃せない 注意点を分かりやすい構成で解説いたします。

入試本番で確実に得点をもぎ取るための、極方程式と直交座標の相互変換に関する実践的な例題と解法プロセスを提示します。

【例題1：極方程式から直交座標の方程式への変換】

問題： 極方程式 $r = \frac{2}{1 + \cos\theta}$ が表す曲線を、直交座標の方程式で表し、その概形を特定せよ。

【思考のプロセスと解法】
分母を払って $r$ と $\theta$ の関係を整理し、変換公式 $r\cos\theta = x$ および $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ を適用しやすい形に変形します。

1. 両辺に $1 + \cos\theta$ を掛ける：
$r(1 + \cos\theta) = 2 \implies r + r\cos\theta = 2$

2. $r\cos\theta = x$ を代入する：
$r + x = 2 \implies r = 2 - x$

3. 両辺を2乗して $r^2 = x^2 + y^2$ を適用する（ただし $r \ge 0$ より $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$ の条件下）：
$r^2 = (2 - x)^2$
$x^2 + y^2 = 4 - 4x + x^2$

4. $x^2$ を両辺から消去して整理する：
$y^2 = -4(x - 1)$

【結論】： 頂点が $(1, 0)$、焦点が原点 $(0, 0)$、準線が $x = 2$ である放物線となります。先ほど学んだ2次曲線の統一極方程式において、$e = 1$（放物線）の場合に完全一致していることが代数的にも証明されます。

【例題2：直交座標から極方程式への変換】

問題： 直交座標の方程式 $x^2 + y^2 - 4x = 0$ を極方程式で表せ。

【思考のプロセスと解法】
変換公式 $x^2 + y^2 = r^2$ および $x = r\cos\theta$ を直接代入します。

1. 公式をそのまま代入：
$r^2 - 4r\cos\theta = 0$

2. 因数分解を行う：
$r(r - 4\cos\theta) = 0$

3. $r = 0$ または $r = 4\cos\theta$ となるが、$r = 4\cos\theta$ において $\theta = \frac{\pi}{2}$ を代入すると $r = 4\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ となり、極 $r = 0$ は方程式 $r = 4\cos\theta$ に内包されている。
したがって、求める極方程式は $r = 4\cos\theta$ となる。