積の微分公式はなぜ片方ずつ？導出の証明と直感的理解をプロが徹底解説

積の微分公式はなぜ片方ずつ？導出の証明と直感的理解をプロが徹底解説の基礎知識と応用に迫る! 専門的な視点でご紹介しています。

実際に試験で満点を勝ち取るための、標準的な計算問題と現場直伝の思考プロセスを体験してみよう。

例題1：基本形と三角関数の積

問題：次の関数を微分せよ。
$y = x^2 \sin x$

【プロの思考・解答プロセス】
前にある関数が $u = x^2$、後ろにある関数が $v = \sin x$ である。「微分・そのまま ＋ そのまま・微分」のリズムに機械的に当てはめる。

1. 前を微分、後ろはそのまま：$(x^2)' \sin x = 2x \sin x$
2. 前はそのまま、後ろを微分：$x^2 (\sin x)' = x^2 \cos x$
3. 両者を足し算し、共通因数でくくる：
$y' = 2x \sin x + x^2 \cos x = x(2\sin x + x\cos x)$

例題2：指数関数と合成関数の融合形

問題：次の関数を微分せよ。
$y = (2x - 1) e^{3x}$

【プロの思考・解答プロセス】
後ろの関数 $e^{3x}$ は合成関数であり、微分すると「中身の微分」である 3 が前に飛び出てくる点に全神経を集中させる。

$$y' = (2x - 1)' e^{3x} + (2x - 1) (e^{3x})'$$
$$y' = 2 \cdot e^{3x} + (2x - 1) \cdot (3e^{3x})$$

ここで展開してバラバラにするのではなく、$e^{3x}$ という巨大な共通因数で素早くくくり出す。

$$y' = \{2 + 3(2x - 1)\} e^{3x} = (6x - 1)e^{3x}$$

このスマートな因数分解の着地こそが、その後の極値判定やグラフ描画で圧倒的なアドバンテージを生み出す勝負の分かれ目となる。