扇形の中心角の求め方完全解説！弧の長さや面積から逆算する裏ワザ

扇形の中心角の求め方完全解説！弧の長さや面積から逆算する裏ワザの重要ポイントをご紹介します。専門的な知識が満載です。

扇形（おうぎ形）の中心角を求める際、すべての出発点となるのは「扇形は円の一部を切り取った図形である」という原則です。円の基本公式に対して、中心角の度数を $a^\circ$ と置いたときの割合である「中心角分数（$\frac{a}{360}$）」を掛け合わせることで、各数値が導出されます。

まずは、基本となるおうぎ形の弧の長さと扇形の面積公式を確認します。半径を $r$、中心角を $a^\circ$、円周率を $\pi$ とすると、以下の関係式が成り立ちます。

• 弧の長さ（$\ell$）： $\ell = 2\pi r \times \frac{a}{360}$
• 扇形の面積（$S$）： $S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}$

中心角の逆算方法で迷った場合は、中心角を文字 $a$（または $x$）とおき、問題文で与えられた数値をこの基本公式にそのまま代入して「$a$ についての方程式」として解き進めるのが最も確実です。

【実践例題1：弧の長さから中心角を逆算する】
「半径が $6\text{cm}$、弧の長さが $4\pi\text{cm}$ である扇形の中心角 $a$ を求めよ」

基本公式に代入すると、$4\pi = 2\pi \times 6 \times \frac{a}{360}$ となります。右辺の数値を約分して整理すると、$4\pi = 12\pi \times \frac{a}{360} = \frac{\pi a}{30}$ と導かれます。両辺を $\pi$ で割り、30を掛けると、$a = 4 \times 30 = 120$ となり、中心角は $120^\circ$ と求まります。

【実践例題2：面積から中心角を逆算する】
「半径が $9\text{cm}$、面積が $27\pi\text{cm}^2$ である扇形の中心角 $a$ を求めよ」

面積公式に代入すると、$27\pi = \pi \times 9^2 \times \frac{a}{360}$ となります。右辺を展開して約分を行うと、$27\pi = 81\pi \times \frac{a}{360} = \frac{9\pi a}{40}$ です。両辺を $9\pi$ で割ると $3 = \frac{a}{40}$ となり、$a = 120$、すなわち中心角は $120^\circ$ と算出されます。