正方形の面積の求め方を徹底解剖！対角線を使う裏ワザと公式の真相

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中学入試やハイレベルな実力テストで頻出するのが、「1辺の長さが伏せられ、対角線の長さだけが指定されている正方形」の求積問題です。ここで絶大な威力を発揮するのが、対角線を使った正方形の面積の求め方です。

正方形の面積 ＝ 対角線 × 対角線 ÷ 2

たとえば、対角線の長さが10cmの正方形であれば、「10 × 10 ÷ 2 ＝ 50」となり、瞬時に50cm²という解が導き出せます。しかし、なぜこの計算式で正方形の面積が求まるのでしょうか。対角線×対角線÷2の公式の理由には、目から鱗が落ちるような鮮やかな幾何学的証明が存在します。 その秘密は、ひし形の公式との共通点と違いにあります。図形の定義を振り返ると、ひし形とは「4つの辺の長さがすべて等しい四角形」です。正方形は4辺が等しいうえに4つの角がすべて直角であるため、「ひし形の条件を完全に満たした特別なひし形」と見なすことができます。 ひし形は2本の対角線が互いに直角に交わる性質を持っており、その面積は「対角線 × 対角線 ÷ 2」で求められます。正方形もまた、2本の対角線がまったく同じ長さで直交するため、ひし形の公式がそのまま100%適用できるのです。 視覚的に証明する場合、対象の正方形の外側に対角線と平行な4本の直線を引いてみてください。すると、元の正方形をすっぽり囲む「大きな正方形」が完成します。この外側の正方形の1辺の長さは、元の正方形の対角線の長さと完全に一致します。 外側の正方形の面積は「対角線 × 対角線」で求まり、元の正方形はその外側の正方形を4つの直角二等辺三角形に二等分した形になっているため、全体を「÷ 2」することで、内側の正方形の面積が導き出される仕組みです。