八角形の内角の和はなぜ1080度？公式を忘れても即解ける証明と計算法

八角形の内角の和はなぜ1080度？公式を忘れても即解ける証明と計算法とはどんな影響があるのか? 背景や要点を簡潔に解説します。

内角の和とセットで出題されやすい重要テーマが八角形の対角線の本数です。対角線の総数を求める公式は以下の通りです。

【多角形の対角線の本数の公式】
本数 ＝ n × (n － 3) ÷ 2

八角形（n＝8）を当てはめると、次のように計算できます。

8 × (8 － 3) ÷ 2 ＝ 8 × 5 ÷ 2 ＝ 20本

この公式も、構造を紐解けば暗記する必要は一切ありません。

八角形には8個の頂点があります。ある1つの頂点から対角線を引く場合、自分自身と、隣り合う2つの頂点には対角線が引けません（隣と結ぶと「辺」になってしまうため）。したがって、引ける相手は「8 － 3 ＝ 5個」の頂点です。これが「n － 3」の意味です。

これが8個の頂点すべてから引かれるため「8 × 5 ＝ 40本」となりますが、頂点Aから頂点Cへ引いた線と、頂点Cから頂点Aへ引いた線は全く同じ1本の線であり、すべての対角線を2回ずつ重複して数えています。そのため、最後に「÷ 2」をして重複を解消します。意味が分かっていれば、公式の「－3」や「÷2」で迷うことは二度となくなります。