極値を持つ条件の完全攻略｜判別式D>0の罠と符号変化の減点回避術

極値を持つ条件の完全攻略｜判別式D>0の罠と符号変化の減点回避術に関する注目トピックを分かりやすく解説します。最新情報を求める方は必見です。

Q1：3次関数が「極大値のみ」を持つことはありますか？
A1：あり得ません。3次関数の導関数は2次関数です。2次方程式が実数解を持つ場合、異なる2つの実数解（軸を2回貫く）か、重解（接する）のいずれかです。軸を貫くなら符号変化は「正→負」と「負→正」の2回必ず発生するため、極大値と極小値は必ずセットで現れます。重解なら極値はゼロです。したがって極大値のみを持つケースは存在しません。

Q2：記述答案で増減表を書かずに「増減より」とだけ済ませても満点は取れますか？
A2：減点されるリスクが極めて高いです。特に難関国公立大学の採点基準では、増減表そのもの、あるいは導関数の符号変化を示す図や論述がない答案は「客観的な根拠の提示不足」とみなされます。増減表は採点官に対する最も確実なプレゼンテーションツールですので、必ず省略せずに記述してください。

Q3：数IIIで $f'(x) = 0$ を解くのが非常に困難な場合、極値の有無はどう判別すればよいですか？
A3：方程式が代数的に解けない場合でも、中間値の定理を用いて「解の存在」を示し、その解の前後で $f'(x)$ の各因子（分子など）の符号を評価することで符号変化を証明できます。具体値が求まらなくとも「解 $\alpha$ を持ち、その前後で正から負に変化する」ことが論証できれば、極値の存在条件としては満点解答になります。