【完全攻略】三角関数の合成公式はなぜ迷う？加法定理と図形で秒速マスター

【完全攻略】三角関数の合成公式はなぜ迷う？加法定理と図形で秒速マスターの基礎知識と応用に迫る! わかりやすい言葉で紐解きます。

三角関数の合成公式を確実に自らの武器にする最短ルートは、その成り立ちを自分の手で再現できるようにすることです。合成の本質は、まったく新しい公式ではなく加法定理の逆再生に他なりません。

まずは基本となる $\sin$ の加法定理を振り返ります。

$\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha$

ここで、右辺の順番を少し整理して並べ替えてみます。

$\sin(\theta + \alpha) = (\cos\alpha) \sin\theta + (\sin\alpha) \cos\theta$

私たちが変形したい目標の式は $a \sin\theta + b \cos\theta$ です。この2つの式を見比べると、もし「$a = R \cos\alpha$」「$b = R \sin\alpha$」となるような実数 $R$（ただし $R > 0$）と角 $\alpha$ を見つけることができれば、次のように因数分解のようにまとめることが可能になります。

$a \sin\theta + b \cos\theta = R (\cos\alpha \sin\theta + \sin\alpha \cos\theta) = R \sin(\theta + \alpha)$

では、この $R$ と $\alpha$ はどのように定まるでしょうか。ここで登場するのが座標平面と図形解法の視点です。

2つの条件式を2乗して足し合わせると、以下の関係式が得られます。

$a^2 + b^2 = R^2 (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = R^2 \times 1 = R^2$

$R > 0$ であるため、$R = \sqrt{a^2 + b^2}$ が導かれます。幾何学的に言えば、座標平面上の原点 $O(0, 0)$ と点 $P(a, b)$ を結ぶ線分の長さ $OP$ そのものが $R$ です。そして、線分 $OP$ が $x$ 軸の正の向きとなす角こそが $\alpha$ となります。

この証明手順を一度頭に定着させれば、公式を丸暗記する必要はなくなります。「$\sin\theta$ の係数を $x$ 座標、$\cos\theta$ の係数を $y$ 座標とする点 $P(a, b)$ をプロットする」という作業だけで、合成の振幅と位相のズレが瞬時に導き出せます。