アークサインの微分はなぜあの形？公式の導出と定義域の罠を徹底解説

アークサインの微分はなぜあの形？公式の導出と定義域の罠を徹底解説の詳細について、専門知識を取りまとめてご紹介します。

Q1：$\sin^{-1} x$ と表記されている場合も同じ公式を使ってよいですか？
A1：はい、まったく同じです。$\sin^{-1} x$ はアークサインの別表記であり、$(\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}$（余割：$\csc x$）とは意味が異なる点にだけ注意してください。

Q2：なぜ $x = \pm 1$ の地点では微分が定義されないのですか？
A2：導関数の分母 $\sqrt{1-x^2}$ に $x = \pm 1$ を代入すると分母がゼロになり、接線の傾きが無限大（垂直）に発散してしまうためです。そのため、微分可能区間は開区間 $(-1, 1)$ となります。

Q3：試験中にアークサインの微分公式を忘れたらどう対処すべきですか？
A3：$y = \arcsin x \iff x = \sin y$ と書き換え、両辺を $y$ で微分して $\frac{dx}{dy} = \cos y$ を作れば、10秒程度で $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ をその場で再構成できます。